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Introducción a la Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería - Universidad de la República Oriental del Uruguay


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1 Introducción a la Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería - Universidad de la República Oriental del Uruguay Procesos Estocásticos de Tiempo Contínuo Práctico Ejercicio 1 Sean X e Y variables aleatorias independientes de distribución Poisson con esperanzas µ 1 y µ 2 respectivamente. Calcular la distribución de X + Y. Ejercicio 2 (Parcial 1995) El sistema de navegación de un vehículo espacial cuenta con tres computadoras en paralelo para mejorar su confiabilidad. Cada computadora está sujeta a fallas permanentes de hardware, y fallas transitorias debidas a interferencias por radiación cósmica. Se estima que las fallas de hardware ocurren según una tasa de 1 falla / horas de uso, y las interferencias por radiación según una tasa de 1 falla / 10 horas de uso, y se utiliza la distribución exponencial para aproximar su comportamiento. Cuando se produce una falla permanente en una computadora, el vehículo pasa a estado crítico, y se realiza un procedimiento especial para abortar la misión. Cuando se produce una falla transitoria en una computadora, se realiza un procedimiento para restablecer la misma, que insume un tiempo exponencial de media 1 microsegundo (10-6 segundos). Si durante ese procedimiento ocurre una falla de hardware o una falla transitoria en alguno de las otras dos computadoras disponibles, el vehículo pasa igualmente a estado crítico; en caso contrario, se recupera el estado correcto de funcionamiento. Modelar como una cadena de Markov de tiempo continuo: i) dando tiempo de permanencia en cada estado y probabilidades de transición. ii) dando el generador infinitesimal. Nota: suponemos que la tasa de salida del estado crítico es 0. Ejercicio 3 Un conejo tiene un nido en el sitio A. En condiciones normales permanece ahí un tiempo exponencial de parámetro λ 1, luego del cual lo abandona trasladándose a una cueva en un sitio C. Sobre el sitio A aparecen halcones en búsqueda de alimentos. Si el conejo está en el sitio A y llega un halcón, el conejo lo abandona trasladándose al sitio C. La sucesión de apariciones de halcones se aproxima a un proceso de Poisson de parámetro λ 2. En un sitio B, habita un zorro. El comportamiento del zorro es el siguiente: - permanece en su cueva un tiempo exponencial de tasa λ 3, luego del cual se dirige al sitio A - permanece en el sitio A un tiempo exponencial de parámetro λ 4, luego del cual vuelve al sitio B Si llega el zorro al sitio A y este está ocupado por el conejo, el conejo lo abandona trasladándose al sitio B. El conejo solamente abandona el sitio B cuando el zorro vuelve, y se dirige con igual probabilidad a los sitios A y C. Cuando el conejo está en C, permanece ahí un tiempo exponencial de parámetro λ 1 y al irse lo hace siempre al sitio A. 1

2 a) Modelar el movimiento del conejo como una CMTC. Dar el espacio de estados, probabilidades de transición y tiempos de permanencia. b) Calcular el generador infinitesimal. c) Suponga λ 1 = 20 min 1. λ 2 = 30 min 1. λ 3 = 10 min 1. y λ 4 = 6 min 1. Calcular la probabilidad asintótica de que el conejo esté en el sitio C. Ejercicio 4 (Examen Marzo 2003) Un pequeño hospital cuenta con un único ascensor (en el cual entra sólo una camilla) para transportar pacientes desde las habitaciones hasta la única sala de operaciones. Se desea realizar un estudio sobre su funcionamiento para determinar qué tan probable es que el ascensor se rompa mientras transporta un paciente. Las operaciones de cada día son agendadas previamente de modo que cuando un paciente necesita utilizar el ascensor, nadie más lo necesita. Así, las llegadas de pacientes al ascensor se dan sólo cuando éste está disponible y lo hacen según un proceso de Poisson de tasa 1 llegada por hora. El tiempo transcurrido entre que se sube al ascensor y se desciende de él es exponencial de parámetro 3 minutos. Puede asumirse que el tiempo que demora el ascensor en llegar a donde fue llamado es despreciable. Cuando un paciente es trasladado a la sala de operaciones, el ascensor aguarda el fin de la operación para transportarlo nuevamente a su habitación. La duración de cada operación es una variable exponencial de media 1 hora. Datos experimentales permiten ajustar el tiempo entre dos roturas consecutivas del ascensor a una variable exponencial de media 200 horas. Cuando un ascensor se rompe, se debe llamar al técnico para que lo repare. El proceso de reparación demora un tiempo exponencial de media 2 horas. Se asume que el tiempo que demora el técnico en llegar al hospital es despreciable. a) Modelar el sistema como una Cadena de Markov de Tiempo Contínuo. Dar el espacio de estados, los tiempos de permanencia y las probabilidades de transición. b) Dibujar el grafo asociado. c) Dar el generador infinitesimal. Ejercicio 5 (Examen Marzo 2005) Un lagarto tiene el siguiente hábito de alimentación. Permanece en su cueva un tiempo exponencial de esperanza 1/ α 1. Desde su cueva se mueve hacia un arroyo, una laguna o una pradera cercana. Cuando se mueve lo hace de forma equiprobable a cualquiera de estos tres sitios. Estando en el arroyo, en caso que comience a llover el lagarto se retira inmediatamente a su cueva. En caso que no llueva, el lagarto permanece en el arroyo un tiempo exponencial de parámetro α 2 y luego se traslada a la laguna. Estando en la laguna, en caso que comience a llover el lagarto se retira inmediatamente a su cueva. Por otro lado (en caso que no llueva), si aparece el cazador de la zona, el lagarto se retira inmediatamente en forma equiprobable al arroyo o a su cueva. Si no llueve y no aparece el cazador, el lagarto permanece en la laguna un tiempo exponencial de parámetro α 3 luego del cual se traslada a la pradera. Estando en la pradera, en caso que comience a llover se retira inmediatamente en forma equiprobable a su cueva o al arroyo. Por otro lado (en caso que no llueva), si aparece el peón del campo, el lagarto se retira inmediatamente a la laguna. Si no llueve y no aparece el peón del campo el lagarto permanece en la pradera un tiempo exponencial de parámetro α 4 luego del cual se traslada a su cueva. 2

3 La aparición de lluvias se modela como un proceso de Poisson de parámetro λ. La aparición del cazador en la laguna se modela como un proceso de Poisson de parámetro β. Los tiempos entre llegadas sucesivas del peón a la pradera son exponenciales de esperanza 1 / δ. Modelar los movimientos del lagarto como una cadena de Markov de tiempo continuo, dando los estados, tiempos de permanencia y probabilidades de transición. Ejercicio 6 (Parcial 2003) Un tanque T 80 esta emplazado en forma estática en un cierto lugar del desierto iraquí. El tanque tiene tres modalidades de disparo: M 1, M 2 y M 3. Dependiendo de la modalidad de disparo, el tanque puede ser detectado y parcialmente dañado o detectado y fuertemente dañado por el enemigo (el tiempo transcurrido entre la detección y el daño es muy pequeño y puede suponerse igual a 0). Se conocen los siguientes datos: El tanque permanece en modalidad M 1 un tiempo exponencial de parámetro λ 1. En las modalidades M 2 y M 3 el tanque permanece en ambos casos un tiempo exponencial de parámetro 3λ 1. Además, siempre que no sea detectado, el tanque cambia de modalidad de disparo en forma cíclica, es decir: M 1 M 2 M 3 M 1... Estando en modalidad M 1 el tanque nunca será detectado. Estando en modalidad M 2 el tanque es detectado en un tiempo exponencial de esperanza 1/λ 2. Cuando es detectado será parcialmente dañado con probabilidad 1/4 o fuertemente dañado con probabilidad 3/4. Estando en modalidad M 3 el tanque es detectado en un tiempo exponencial de parámetro λ 3. Cuando es detectado será dañado fuertemente. Si el tanque fue dañado (ya sea parcialmente o fuertemente) no puede efectuar disparos (no está en ninguna de las tres modalidades). Además: o Si fue dañado parcialmente, es reparado de acuerdo a un tiempo exponencial de parámetro λ 4 y posteriormente pasa a estar operativo en modalidad M 1. o Si fue dañado fuertemente, es reparado de acuerdo a un tiempo exponencial de parámetro λ 4 /3 y posteriormente pasa a estar operativo en modalidad M 1 con probabilidad 1/3 o en modalidad M 2 con probabilidad 2/3. o Mientras esta siendo reparado no es detectado (no puede ser dañado nuevamente). Modelar la operativa del tanque como una cadena de Markov de tiempo continuo, dando su espacio de estados, tiempos de permanencia en cada estado y probabilidades de transición. Ejercicio 7 La reparación de dos máquinas es realizada por un solo operador. La máquina i funciona durante un tiempo exponencial de tasa µ i antes de romperse, i=1,2. El tiempo de reparación para cada máquina es exponencial de tasa µ. a) Podemos analizar este proceso como una Cadena de Markov de Tiempo Continuo? b) Podemos analizar este proceso como un Proceso de Nacimiento y Muerte?. Si responde sí, defina los parámetros del mismo (sus tasas). Si responde no, explique porqué no. c) Qué pasa si ambas máquinas tienen igual tasa de ruptura µ 1 =µ 2 =µ? 3

4 Ejercicio 8 Un supermercado tiene dos cajas exponenciales, que operan a una tasa µ. Los arribos son poissonianos de tasa α. Los cajas operan de la siguiente manera: - Atienden una sola cola. - Una caja es atendida permanentemente por un cajero, y la otra por un cajero del depósito que empieza a atender instantáneamente siempre que hayan dos o más clientes en el supermercado (sistema). Este cajero se retira al depósito cuando completa un servicio y cuando hay menos de dos clientes en el sistema. a) Sea p n la proporción de tiempo que hay n clientes en el supermercado. Exponga las ecuaciones para encontrar p n b) A qué tasa pasa el número de clientes en el sistema de 0 a 1, y de 2 a 1? c) Diga cuál es la proporción del tiempo en que el cajero del depósito atiende la caja (tener cuidado cuando hay una sola persona en el supermercado). Ejercicio 9 Un supermercado desea definir su política de atención al público, por lo que desea saber si el tiempo de espera en un modelo de atención con una tasa media de llegadas poissoniana α y un servidor de tasa media exponencial 2µ, es menor que en un modelo con dos servidores exponenciales de tasa µ y tasa media de llegadas también poissonianas α. Investigue el caso. Ejercicio 10 En un cruce fronterizo funciona permanentemente cierto número de garitas aduaneras. Los automóviles llegan según un Proceso Poisson de 15 coches por hora. Cada garita inspecciona según ley exponencial a razón de 8 clientes por hora, por orden de llegada y en la medida que se desocupan (hay una sola cola). Se propone un sistema de solamente 2 garitas habilitadas. Una espera promedio mayor de 30 minutos para ingresar al país es considerada "daño irreparable para el turismo". a) Calcule la variable de decisión de la propuesta y valore si la misma es aceptable. b) Puede funcionar el control aduanero con una sola garita? Fundamente. Ejercicio 11 (Parcial 1992) Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para dar servicio a automóviles. Se estima que los autos llegan de acuerdo con una distribución de Poisson de tasa 2 llegadas cada 5 minutos, y que hay espacio suficiente para dar cabida a una fila de 4 automóviles (sin incluir el que está siendo atendido). Otros autos que llegan pueden esperar fuera de este espacio, de ser necesario. Los empleados tardan 1.5 minutos en promedio en surtir un pedido, el tiempo de servicio varía según una distribución exponencial. Determinar: a) La probabilidad de que el establecimiento esté vacío, resolviendo las ecuaciones de balance. b) El número esperado de clientes en espera (que no están siendo atendidos aún). c) El tiempo de espera promedio hasta que un cliente pueda hacer su pedido en ventanilla. d) La probabilidad de que la línea de espera (la cantidad de vehículos esperando) sea mayor que la capacidad del espacio que conduce a la ventanilla de servicio a automóviles. 4

5 Ejercicio 12 (Examen Febrero 2002) Un lavadero de autos recibe clientes que llegan segun un proceso de Poisson, el tiempo medio entre llegadas es de 20 minutos. Hay lugar para un auto siendo lavado, y dos más en espera; si llegan más autos cuando está el lavadero lleno, se pierden (no esperan su turno). El lavadero actualmente trabaja en forma manual, y el tiempo de atención promedio es de 15 minutos, con distribución exponencial. a) Modelar el sistema como un proceso de nacimiento y muerte. b) Verificar si el sistema cumple las condiciones de estabilidad para que exista una distribución estacionaria. c) Calcular el porcentaje de clientes perdidos, y el porcentaje de ocupación del sistema (tiempo que hay al menos un cliente). d) Calcular el número medio de clientes haciendo fila (no se cuenta el cliente siendo atendido). e) Calcular el tiempo medio de espera en la fila (se excluye el tiempo de servicio) para los clientes que entran al sistema (no se tienen en cuenta los clientes que encuentran el sistema lleno y se pierden). Ejercicio 13 (Examen Julio 2002) Un cierto tipo de bacteria tiene un sistema de reproducción modelado de la siguiente forma. El tiempo hasta la aparición de la primer bacteria es exponencial de valor esperado 1/α. Si hay n (n > 0) bacterias, el tiempo hasta la reproducción de la siguiente bacteria es una variable aleatoria exponencial de parámetro α/n. Independientemente de la cantidad de bacterias en el sistema, el tiempo hasta la muerte de una bacteria es exponencial de parámetro µ. (Se asume que α > 0 y µ > 0). a) Modelar la reproducción de bacterias como un proceso de nacimiento y muerte. b) Determinar la condición de estabilidad del sistema y calcular las probabilidades en régimen estacionario. c) Calcular la tasa media de nacimiento en el sistema. d) Cuál es la probabilidad de pasaje del estado n al estado n+1? e) Tomando α = 2 nacimientos/segundo y µ = 2 muertes/segundo, calcular los tiempos de permanencia en cada estado. Cuál es la probabilidad de que al nacer una nueva bacteria, en el sistema ya exista más de una bacteria presente? 5

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