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TEORIA DE COLAS SIMULACIÓN DE SISTEMAS


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1 SIMULACIÓN DE SISTEMAS UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL- ICA Ing.

2 Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas: Personas esperando para una caja en un banco, Estudiantes esperando fotocopiadora, realizar sus transacciones ante por obtener copias en la Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo, Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 2

3 Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio. Los Análisis de Colas relacionan: la longitud de la línea de espera, el promedio de tiempo de espera y otros factores como: la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola, Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.). ALAS PERUANAS FILIAL ICA 3

4 Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 4

5 Costos de Servicio y Costos de Espera Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos. Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más. Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO ALAS PERUANAS FILIAL ICA 5

6 Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio Costo COSTO TOTAL ESPERADO Costo Total Mínimo Costo por proporcionar el SERVICIO Costo por TIEMPO DE ESPERA Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio ALAS PERUANAS FILIAL ICA 6

7 Costos de Servicio vs Nivel de Servicio Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes. En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario. En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 7

8 Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera. Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas. En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulación) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 8

9 SITIO TEORIA DE COLAS COLAS MAS COMUNES ARRIBOS EN COLA SERVICIO Supermercado Peaje Consultorio Compradores Vehículos Pacientes Pago en cajas Pago de peaje Consulta Sistema de Cómputo Programas a ser corridos Compañía de teléfonos Llamadas Proceso de datos Efectuar comunicación Banco Mantenimiento Muelle Clientes Máquinas dañadas Barcos Depósitos y Cobros Reparación Carga y descarga ALAS PERUANAS FILIAL ICA 9

10 Características de una LINEA DE ESPERA Una cola de espera está compuesta de tres elementos: 1. Arribos o ingresos al sistema 2. Disciplina en la cola 3. Servicio Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 10

11 Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres características principales: a. Tamaño de la población que arriba b. Patrón de llegada a la cola c. Comportamiento de las llegadas. 1. a. Tamaño de la Población: El tamaño de la población puede ser: infinito (ilimitado) o limitado (finito). ALAS PERUANAS FILIAL ICA 11

12 Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1. a. Tamaño de la Población: Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado. LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO. Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consutorio médico ALAS PERUANAS FILIAL ICA 12

13 Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1. b. Patrón de arribo al sistema: Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria. Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente. Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 13

14 Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: DISTRIBUCION DE POISSON: P(x) = Probabilidad de x arribos.x= P número de arribos por unidad de tiempo λ = rata promedio de arribo.e = λ e λ x! x ( x ) = para _ x = 0, 1, 2, 3, 4,... ALAS PERUANAS FILIAL ICA 14

15 DISTRIBUCION DE POISSON DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO λ = PROBABILIDAD DISTRIBUCION DISTRIBUCION ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO ALAS PERUANAS FILIAL ICA 15

16 DISTRIBUCION DE POISSON DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO λ = PROBABILIDAD DISTRIBUCION DISTRIBUCION ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO ALAS PERUANAS FILIAL ICA 16

17 Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1. c. Comportamiento de los arribos: La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan entre colas. Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente se reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin completar su transacción. Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 17

18 2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA: La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistema de colas. La longitud de la cola puede ser también LIMITADA o ILIMITADA. Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos no puede incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el caso de una peluquería que tiene pocos barberos y sillas para atender. Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamaño no tiene restricción como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los vehículos que arriban. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 18

19 2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA: Una segunda característica de las líneas de espera se refiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir (First In First Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina también FIFS (First In First Served). En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arriban por auxilio médico. En supermercados, personas con menos de 10 artículos tienen la caja express que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiende con la política PEPS. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 19

20 CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA 3. Características del Servicio El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes dos propiedades básicas: 1. La configuración del sistema de servicio. 2. El patrón de tiempos de servicio CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO: Los sistemas para el servicio son clasificados en función del numero de canales (servidores) y el número de fases (número de paradas que deben hacerse durante el servicio). Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rápida. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 20

21 CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA Configuraciones básicas para el Servicio Sistema de cola multi- canal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas. Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estación, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera ALAS PERUANAS FILIAL ICA 21

22 Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas Configuraciones básicas para el Servicio COLA ARRIBOS SERVIDOR SALIDAS SISTEMA UN CANAL, UNA FASE ARRIBOS COLA SERVICIO FASE 1 SERVICIO FASE 2 SALIDAS UN SOLO CANAL, MULTIFASE ALAS PERUANAS FILIAL ICA 22

23 Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas Configuraciones básicas para el Servicio COLA CANAL 1 ARRIBOS CANAL 2 SALIDAS CANAL 3 SISTEMA MULTICANAL UNA FASE ALAS PERUANAS FILIAL ICA 23

24 Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas Configuraciones básicas para el Servicio COLA FASE 1 CANAL 1 FASE 2 CANAL 1 ARRIBOS FASE 1 CANAL 2 FASE 2 CANAL 2 SALIDAS SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE ALAS PERUANAS FILIAL ICA 24

25 Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas Distribución del Tiempo de Servicio Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios. I. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros). II. Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente que es el caso más común se lo representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e - µx para x 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de Poisson. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 25

26 Medición del Rendimiento de las Colas Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea. Los principales factores que se evalúan en estos modelos son: 1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola 2. Longitud de cola promedio 3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio). 4. Número de clientes promedio en el sistema. 5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío 6. Factor de utilización del sistema 7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 26

27 Notación de los Modelos de Colas Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953) propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos que ha sido adoptado universalmente. Una versión resumida de esta convención está basada en el formato A/B/c/N/K. Estas letras representan las siguientes características del sistema: A = Distribución de tiempo entre arribos. B = Distribución del tiempo de servicio. Los siguientes son símbolos comunes para A y B: M = exponencial o Markov (1 ) D = constante o determinística ALAS PERUANAS FILIAL ICA 27

28 Notación de los Modelos de Colas E k = Erlang de orden k P H = Tipo fase H = Hiperexponencial G = Arbitrario o general GI = General independiente.c = número de servidores paralelos N = Capacidad del sistema K = Tamaño de la población. Nota (1 ) : A causa de las suposiciones de distribución exponencial en los procesos de arribo, estos modelos son llamados MARKOVIANOS ALAS PERUANAS FILIAL ICA 28

29 Notación de los Modelos de Colas Por ejemplo: M/M/1 / / significa un solo servidor, capacidad de cola ilimitada y población infinita de arribos potenciales. Los tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente. Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de la notación. M/M/1/ / es reducido a M/M/1. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 29

30 Variedad de Modelos de Colas Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados. Modelos más complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la Simulación y se los encuentra en textos especializados sobre el tema. Los 4 modelos de colas a estudiar asumen: o Arribos según la Distribución de Poisson o Disciplina PEPS o Una sola fase de servicio. Modelo A: Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson; Tiempos de Servicio exponenciales ALAS PERUANAS FILIAL ICA 30

31 Variedad de Modelos de Colas Modelo B: Multicanal Modelo C: Tiempo de Servicio constante Modelo D: Población Limitada Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que siguen la distribución de Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales: (Modelo M/M/1 ) Los casos más comunes de problemas de colas incluyen la línea de espera de canal único o servidor único. En este caso los arribos crean una sola cola a ser servida por una sola estación. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 31

32 Modelo A: M/M/1 Asumimos que existen las siguientes condiciones: 1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola. 2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo. 3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita. 4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 32

33 Modelo A: (M/M/1) Modelo B: (M/M/S) 5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa. 6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo. Tabla 5. 3 Render Pág Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que arriban. Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que queda libre. Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 33

34 Modelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1) Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma rata. Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1 ) Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de exponencialmente distribuídos. Cuando los clientes son atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado. ALAS PERUANAS FILIAL ICA 34

35 Modelo D: Población limitada Modelo D: Modelo de Población limitada. - Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos considerando reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5 máquinas. Este modelo permite cualquier número de reparadores a ser considerados. La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que ahora hay una relación de dependencia entre la longitud de la cola y la rata de arribo. La situación extrema sería si en la fábrica tenemos 5 máquinas, todas se han dañado y necesitan reparación; siendo en este caso la rata de arribo CERO. En general, si la línea de espera crece, la rata de llegada tiende a cero ALAS PERUANAS FILIAL ICA 35

36 RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS MODELO NOMBRE N DE CANAL ES N DE FASES PATRÓN DE ARRIBO PATRÓN DE SERVICIO TAMAÑO DE LA POBLACIÓN DISCIPLINA DE COLA A SIMPLE M/M/1 UNO UNA POISSON EXPONEN CIAL INFINITA PEPS B MULTI- CANAL M/M/S MULTI CANAL UNA POISSON EXPONEN CIAL INFINITA PEPS C SERVICIO CONSTANTE (M/D/1) UNO UNA POISSON CONSTAN TE INFINITA PEPS D POBLACION LIMITADA UNO UNA POISSON EXPONEN CIAL FINITA PEPS ALAS PERUANAS FILIAL ICA 36

37 FÓRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1 λ = Número promedio de arribos por período de tiempo µ = Número promedio de gente o cosas servidos por período de tiempo n = número de unidades en el sistema L = Número promedio de unidades (clientes) en el sistema S ρ = Factor de utilizació n del sistema = W = Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema = S W = S (tiempo de espera + tiempo de servicio) 1 µ λ λ µ L S = λ µ λ ALAS PERUANAS FILIAL ICA 37

38 FÓRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1 L = Número promedio de unidades en la cola = q n λ λ = 1 n P = ( 1 ) n ρ ρ µ µ P = Probabilid ad de cero unidades en el sistema (la unidad de servicio está vacía) o q λ P o = 1 = µ P P n k n k = λ µ k + 1 n ( 1 ρ ) 2 λ ( µ λ ) W = Tiempo promedio que una unidad espera en la cola = P = Probabilid ad de que " n " clientes estén en el sistema = = ρ L ( µ λ ) = Probabilid ad de que más de " k" unidades estén en el sistema = µ µ λ S = ρ W S = ALAS PERUANAS FILIAL ICA 38

39 FÓRMULAS PARA COLAS MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S M = número de canales abiertos λ = tasa promedio de arribo µ = tasa promedio de servicio en cada canal P = Probabilid ad de que existan CERO o P = o L = n = M 1 n = 0 1 λ n! µ λµ λ µ + 1 λ M! µ Po + λ 2 ( M 1 ).!. ( M µ λ ) µ para M µ λ M µ M µ λ L = número promedio de personas o unidades en el sistema : s S n M 1 M personas o unidades en el sistema = ALAS PERUANAS FILIAL ICA 39

40 s W = q q S L = L q FÓRMULAS PARA COLAS MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S W = Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema, (en la cola y siendo servida (atendida)) µ λ µ ( M 1 )!( M µ λ ) S M λ = L ρ S µ 1 L q W q = W S = µ λ Po + 1 L S = µ λ L = Número promedio de personas o unidades en la línea o cola, en espera de servicio W = Tiempo promedio que una persona o unidad se tar da en la cola esperando por servicio 2 = = = ALAS PERUANAS FILIAL ICA 40

41 FÓRMULAS PARA COLAS MODELO C: SERVICIO CONSTANTE O MODELO M/D/1 Longitud promedio de la cola, Tiempo promedio de espera Tiempo promedio de espera en la cola, en el sistema, 2 λ Lq = 2 µ µ W = ( λ ) λ µ µ ( λ ) λ Número promedio de clientes en el sistema, L S = L q + µ q 2 1 W S = W q + µ ALAS PERUANAS FILIAL ICA 41

42 FORMULAS PARA COLAS MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA NOTACIÓN : D = Probabilid ad de que una unidad tenga que esperar en la cola F = Factor de eficiencia H = Número promedio de unidades siendo servidas J = Número promedio de unidades que no están en cola o en el sector L = Número promedio de unidades esperando el servicio M = Número de canales de servicio N = Número de clientes potenciale s T = Tiempo de servicio promedio U = Tiempode servicio entre requerimie ntos de atención a la unidad W = Tiempo promedio que una unidad espera en la cola X = Factor de servicio de servicio ALAS PERUANAS FILIAL ICA 42

43 FORMULAS PARA COLAS MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA FÓRMULAS : Factor de Servicio Número promedio en espera... Tiempo promedio de espera... Número promedio en funcionami ento Número promedio siendo servido Cuantía de la Población... T X = T + U L = N H = FNX ( 1 F ) ( + U ) T ( 1 F ) L T W = N L J = NF ( 1 X ) N = J + L + H = XF ALAS PERUANAS FILIAL ICA 43

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