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V Unidad: Teoría de Colas (Líneas de espera) de Espera: Teoría de Colas


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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI-NORTE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II INGENIERIA INDUSTRIAL E INGENIERIA DE SISTEMAS V Unidad: Teoría de Colas (Líneas de espera) de Espera: Teoría de Colas Maestro Ing. Julio Rito Vargas Avilés 12/06/2009

2 Teoría de Colas Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos para las líneas de esperas. Estos modelos se usarán para responder preguntas como las siguientes: 1. Cuánto tiempo está ocioso cada servidor? 2. Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola? 3. Cuál es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola? 4. Cuál es la distribución de probabilidad del tiempo de espera de un cliente? 5. Cuál es la distribución de probabilidad de la cantidad de clientes presentes en la cola?

3 Las colas Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana: En un banco En un restaurante de comidas rápidas Al matricular en la universidad Los autos en un lava carro. En un supermercado. En una estación de combustible En un estadio deportivo

4 Las colas En general, a nadie le gusta esperar Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar. Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado Es necesario encontrar un balance adecuado Esto es la relación positiva de Beneficio/costo.

5 Teoría de colas Una cola es una línea de espera. La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares. El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada

6 Teoría de colas Existen muchos sistemas de colas distintos Algunos modelos son muy especiales Otros se ajustan a modelos más generales Se estudiarán ahora algunos modelos comunes Otros se pueden tratar a través de la simulación

7 Sistemas de colas: modelo básico Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales: La cola La instalación del servicio Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio

8 Sistemas de colas: modelo básico Los clientes o llegadas pueden ser: Personas Automóviles Máquinas que requieren reparación Documentos Entre muchos otros tipos de artículos

9 Sistemas de colas: modelo básico Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio Si no, se une a la cola Es importante señalar que la cola no incluye a quien está recibiendo el servicio

10 Sistemas de colas: modelo básico Las llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola Generalmente ésta es primero en llegar, primero en ser servido(fifo) Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades(lifo)

11 Sistemas de colas: modelo básico Sistema de colas Llegadas Cola Disciplina de la cola Instalación del servicio Salidas

12 Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, un servidor Sistema de colas Llegadas Cola Servidor Salidas

13 Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples servidores Sistema de colas Servidor Salidas Llegadas Cola Servidor Salidas Servidor Salidas

14 Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores Sistema de colas Cola Servidor Salidas Llegadas Cola Servidor Salidas Cola Servidor Salidas

15 Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Cola Servidor Salidas

16 Costos de un sistema de colas 1. Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad

17 Costos de un sistema de colas 2. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado Es más fácil de estimar El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo

18 Sistemas de colas: Las llegadas El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas ()

19 Sistemas de colas: Las llegadas El tiempo esperado entre llegadas es 1/ Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es = 20 clientes por hora Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos k e : tasa media de llegadas e = 2, P( k) k!

20 Ejemplo: pedido de cervezas La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el restaurante Dick. Sigue una distribución de Poisson, con un promedio de 30 cervezas por hora. 1. Estime la probabilidad de que se pidan exactamente 60 cervezas entre las 10 y 12 de la noche. 2. Encuentre la de media y desviación estándar de cervezas pedidas entre las 9 PM y 1 AM. 3. Determine la probabilidad de que el tiempo entre dos pedidos consecutivos está entre 1 y 3 minutos.

21 Solución: (1) La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y las 12 de la noche, se apega a una distribución de Poisson con parámetro 2(30)=60. (2 son dos horas entre las 10 y las 12) y 30 cervezas que es el promedio por hora. Por lo que la probabilidad que se pidan 60 cervezas entre las 10 y las 12 es: P( k) k e k! e 60! Se puede usar la función de excel. POISSON(60,60,FALSO)= = 5.1%

22 Solución (2 y 3) Resulta que λ=30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Por tanto la media de cervezas ordenas en ese tiempo es 4(30)= 120. La desviación estándar en ese período es (120) 1/2 =10.95 Sea X el tiempo (en minutos) entre los pedidos sucesivos de cervezas. El número de promedio de pedidos por minutos es exponencial con parámetros o razón 30/60 = 0.5 (treinta cervezas en 60 minutos). Cervezas por minutos. Por lo tanto la función de densidad de la probabilidad del tiempo que transcurre entre pedidos de cervezas t 0.5t a( t) e 0.5e (dado que la tasa de llegada para una cola M/M/1). Entonces. P(1 X 3) 3 0.5t t (0.5e ) dt e e e

23 Sistemas de colas: Las llegadas Además es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas Generalmente se supone una distribución exponencial Esto depende del comportamiento de las llegadas

24 Sistemas de colas: Las llegadas Distribución exponencial La forma algebraica de la distribución exponencial es: P( tiempo de servicio t) 1 e t Donde t representa una cantidad expresada en unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)

25 Sistemas de colas: Las llegadas Distribución exponencial P(t) 0 Media Tiempo

26 Sistemas de colas: Las llegadas Distribución exponencial La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños En general, se considera que las llegadas son aleatorias La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente

27 Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas

28 Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson Su forma algebraica es: Donde: P( k) e P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo : tasa media de llegadas e = 2, k k!

29 Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson P 0 Llegadas por unidad de tiempo

30 Sistemas de colas: La cola El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio

31 Sistemas de colas: La cola La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola Generalmente se supone que la cola es infinita Aunque también la cola puede ser finita

32 Sistemas de colas: La cola La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicio La más común es (FIFO)PEPS: primero en llegar, primero en servicio Puede darse: selección aleatoria, prioridades, (LIFO)UEPS, entre otras.

33 Sistemas de colas: El servicio El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples El tiempo de servicio varía de cliente a cliente El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ()

34 Sistemas de colas: El servicio El tiempo esperado de servicio equivale a 1/ Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos

35 Sistemas de colas: El servicio Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos: La distribución exponencial (=media) Tiempos de servicio constantes (=0)

36 Sistemas de colas: El servicio Una distribución intermedia es la distribución Erlang Esta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar: 1 k media

37 Sistemas de colas: El servicio Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial Si k =, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k

38 Sistemas de colas: El servicio P(t) k = k = 8 k = 1 k = 2 0 Media Tiempo

39 Sistemas de colas: Distribución Erlang Distribución Desviación estándar Constante 0 Erlang, k = 1 media Erlang, k = 2 1/ 2 media Erlang, k = 4 Erlang, k = 8 Erlang, k = 16 Erlang, cualquier k 1/2 media 1/ 8 media 1/4 media 1/ k media

40 Sistemas de colas: Etiquetas para distintos modelos Notación de Kendall: A/B/c La notación de Kendall, caracteriza un sistema de línea de espera en el cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que está libre uno de los s servidores paralelos idénticos. Luego el primer cliente en la cola entre al servicio, y así sucesivamente. A: Distribución de tiempos entre llegadas B: Distribución de tiempos de servicio M: distribución exponencial D: distribución degenerada E k : distribución Erlang c: Número de servidores

41 Estado del sistema de colas En principio el sistema está en un estado inicial Se supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable (nivel normal de operación) Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.) Lo que interesa es el estado estable

42 Desempeño del sistema de colas Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales: 1. El número de clientes que esperan en la cola 2. El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema

43 Medidas del desempeño del sistema de colas 1. Número esperado de clientes en la cola L q 2. Número esperado de clientes en el sistema L s 3. Tiempo esperado de espera en la cola W q 4. Tiempo esperado de espera en el sistema W s 5. Número promedio de clientes que atenderá el servidor W

44 Medidas del desempeño del sistema de colas: fórmulas generales W L s L L s s q W W L q q W W L s q 1

45 Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola

46 Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo La tasa media de llegadas es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto La tasa media de servicio es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

47 Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo clientes W L clientes W L W W W q q s s q s q min min

48 Medidas del desempeño del sistema de colas: ejercicio Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema

49 Probabilidades como medidas del Beneficios: desempeño Permiten evaluar escenarios Permite establecer metas Notación: P n : probabilidad de tener n clientes en el sistema P(W s t) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema más de t horas

50 Factor de utilización del sistema Dada la tasa media de llegadas y la tasa media de servicio, se define el factor de utilización del sistema. Generalmente se requiere que < 1 Su fórmula, con un servidor y con s servidores, respectivamente, es: s

51 Factor de utilización del sistema - ejemplo Con base en los datos del ejemplo anterior, = 0.75, = 1 El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es = / = 0.75/1 = 0.75 = 75% Con dos servidores (s = 2): = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

52 Modelos de una cola y un servidor M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M/E k /1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

53 Modelo M/M/1 1 0, ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( 1 ) ( ) (1 ) (1 1 2 t e t P W e t P W n L P P L W W L L t q t s n s n n q q s q s

54 Modelo M/M/1: ejemplo 1 Un lavacarro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

55 Modelo M/M/1: ejemplo ) 30 / ( ) 30 / ( ) ( 0.25 ) (1 15min 0.25 ) ( 20min ) ( , 9, ) (1 ) ( t q t s s q s q s e P W e P W L P P hrs W hrs W clientes L clientes L

56 Modelo M/M/1 ejemplo 2 Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: 1. Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso? 2. Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando) 3. Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco?(incluyendo el tiempo de servicio 4. Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

57 Solución: De acuerdo con las premisas estamos trabajando con sistema de colas M/M/1 para lo cual λ=10 automóviles por hora y μ=15 automóviles por hora. Por lo tanto 2 1. por lo tanto, el cajero estará ocioso un tercio del tiempo. 2. Determinar clientes Estimamos W, pero necesitamos obtener L. L 1 W L L q horas clientes

58 Solución: 4. Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en (1) el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10 clientes.

59 Modelo M/M/1: Ejemplo 3 Suponga que todos los dueños de automóvil acuden a la gasolinera cuando sus tanques están a la mitad. En el momento actual llega un promedio de 7.5 clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se requiere un promedio de 4 minutos para servir a un automóvil. Suponga que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. 1. Calcule L y W para los tiempos actuales. 2. Suponga que hay un déficit de gasolina y que hay compras de pánico. Para modelar este fenómeno, suponga que todos los dueños de automóviles compran ahora gasolina cuando sus tanques tienen ¾ de combustible. Como cada dueño pone ahora menos gasolina en el tanque cada vez que acude a la gasolinera, supongamos que el tiempo de servicio promedio se reduce a 3 minutos y un tercio. Qué tanto afectan a L yw las compras de pánico?

60 Solución: Tenemos un sistema M/M/1 con λ= 7.5 automóviles por hora y μ=15 (60/4) automóviles por hora. Por lo tanto tiempo que la bomba pasa ocupada. 1 (cantidad de clientes promedio presente en el sistema de colas L horas (Tiempo previsto que un cliente pasa en el sistema de cola). Por tanto bajo estas circunstancia todo está bajo control. W L

61 Solución. λ=2(7.5)= 15 automóviles por hora(esto se infiere por que 60 cada dueño llenará su tanque dos veces). Ahora 18 Automóviles por hora Entonces / 6 L 1 15/ 6 5 automóviles W L hora 20 min

62 Modelo M/M/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola

63 Modelo M/G/ ) 2( w q q q s q q s P P L W W W L L L

64 Modelo M/G/1: ejemplo Un lava carro puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, = 2 min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio.

65 Modelo M/G/1: ejemplo min min ) 2( w q q q s q q s P P hrs L W hrs W W clientes L clientes L L

66 Modelo M/G/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga = 5 min Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

67 Modelo M/D/1 2 L s W s L q 2(1 ) W s W q 1 W q L q 1

68 Modelo M/D/1: ejemplo Un lava carro puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1 λ= 9 carros/hora. μ= 12 carros/hora.

69 Modelo M/D/1: ejemplo 7.5 min min ) 2( ) 2( (0.208) 2 2 hrs L W hrs W W clientes L clientes W L q q q s q s s

70 Modelo M/D/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

71 Modelo M/E k /1 2 ( k 1) L s W s L q 2k(1 ) W s W q 1 W q L q 1

72 Modelo M/E k /1: ejemplo Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.) Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/E k /1

73 Modelo M/E k /1: ejemplo L L s q W W s q W s 2.437clientes 2 ( k 1) clientes 2k(1 ) 1 Wq hrs min Lq hrs min

74 Modelo M/E k /1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/E /1 k

75 Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el cuadro ejemplo lavacarro Modelo L s W s L q W q M/M/1 M/G/1 M/D/1 M/E k /1

76 Modelos de varios servidores M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M/E k /s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

77 M/M/s, una línea de espera ! 1,!,! 1 ) 1)!( (!! 1 P s s s P k n si P s s P k n si P n P W W L W L L P s s L n s s s P s w s n n n n n q s q q q s s q s n n s

78 M/M/s, una línea de espera Si s 2 3 L q 4 2 Si s 3 4 L q (3 )(6 4 2 )

79 Análisis económico de líneas de espera Costos Costo total Costo del servicio Costo de espera Tasa óptima de servicio Tasa de servicio

80 Práctica 1, con WQSB Un almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5 minutos por cliente siguiendo una distribución exponencial. Los clientes llegan a este almacén siguiendo una distribución Poisson a razón de 30 por hora. Con esta información calcular: A)La probabilidad de que el sistema esté lleno, B) La intensidad de trafico. Datos: Numero de servidores = 2 =30 [cl/hr] =1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr] El problema será del tipo M/M/2/FIFO//

81 Solución: Procedimiento Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de Colas (QA). Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del que se conocen todos los datos. Este se llamará Cajeras, eligiendo como unidad de tiempo a horas:

82 Solución En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se muestra:

83 Solución En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se muestra: Los valores de M, representan que es un valor infinito

84 Solución Al presionar el icono resultados: se verá la ventana de los

85 Solución Al presionar el icono resultados: se verá la ventana de los

86 Solución En Español Para el Sistema: M/M/ de dos servidores de Fórmula Promedio de cliente llegados por Hora λ= 30 Promedio de Servicio por servidor por Hora = 40 Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora = 30 Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora = 30 Tasa de ocupación del sistema 37.50% Número promedio de clientes en el sistema (L) = Número promedio de clientes en la cola(lq) = Número promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(lb) = 0.6 Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) = Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(wq) = Horas Horas Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) = Horas Probabilidad que todos los servidores estén ociosos (Po) = 45.45% Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(pw) o sistema está ocupado(pb) = 20.45% Número promedio de clientes que no serán atendidos por el sistema por Hora = 0 Costo total del servidor ocupado por Hora = $0 Costo total del servidor ocioso por Hora = $0 Costo total clientes esperando por hora $0 Costo total de clientes que inician servicio por Hora = $0 Cosot total de clientes being balked per Hora = $0 Total queue space cost per Hora = $0 Costo total del sistema por Hora = $0

87 Solución Adicionalmente podemos realizar los siguientes análisis: Observar las probabilidades estimadas de que existan de 0 hasta 200 clientes en la cola:

88 Solución También podemos realizar una simulación del sistema: Si presionamos veremos la siguiente ventana: En el que usaremos: La semilla de aleatoriedad por defecto Una disciplina de cola de tipo FIFO (PEPS) Un tiempo de simulación de cola de 24 horas (1 día). El momento que iniciará la recolección de datos será a las cero horas. La capacidad de la cola es infinita (M). El máximo de número de recolecciones de datos será infinito (M).

89 Solución Si presionamos OK, se llevará adelante la simulación y veremos los siguientes resultados de la actuación de la cola durante 24 horas:

90 Solución Las probabilidades estimadas para n clientes:

91 Solución Otro de los análisis del que podemos disponer es el de Análisis de sensibilidad. Si presionamos podremos observar la siguiente ventana:

92 Solución Si realizamos un análisis de sensibilidad, seleccionando como parámetro de análisis a la tasa de llegadas, haciendo que esta cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando el modelo de aproximación G/G/s, podremos ver de que manera reacciona el sistema: Podemos observar claramente de que la utilización del sistema va en incremento en una proporción de 10 [cl/hr], y cuando ésta llega a los 70 [cl/hr], se da una utilización del 87.5% (Máxima utilización posible), pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistema se vuelve inestable, es decir el número de servidores es insuficiente.

93 Solución También podemos ver el gráfico del análisis de sensibilidad de un parámetro determinado en función del parámetro analizado: Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph Se abrirá la siguiente ventana: En la que seleccionaremos como variable independiente para el gráfico a L (Número promedio de clientes en el sistema), en función de nuestro parámetro analizado ():

94 Solución En el que se puede ver un crecimiento exponencial. Así sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los parámetros, dependiendo que necesidades se tiene.

95 Solución Otro análisis disponible es el de Análisis de Capacidad: Como éste análisis se realiza a partir de costos, se asumirán los siguientes costos Costo de servidor ocupado por hora = 5 $ Costo de servidor ocioso por hora = 1 $ Costo por cliente en espera = 0.5 $ Costo por cliente servido por hora = 3 $ Costo por cliente no atendido = 1 $ Costo unitario por capacidad de cola = 3 $

96 Solución Si presionamos siguiente ventana: podremos observar la En el que variaremos el número de servidores de 2 a 8, con un paso de 1, y en el que la capacidad de la cola es Infinita, seleccionando la formula G/G/s de aproximación.

97 Solución c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados será la siguiente:

98 Práctica 2, con WQSB Una cadena de supermercados es abastecida por un almacén central. La mercadería que llega a este almacén es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descargan llegan en forma aleatoria siguiendo una distribución Poisson a razón de dos camiones por hora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo una distribución exponencial. Si el número de trabajadores del equipo es incrementado, la razón de servicio se incrementa en la misma proporción. Cada trabajador recibe 5$ por hora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener el chofer esperando ser servido, se estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el tamaño del equipo que minimiza el costo total. Datos: Numero de servidores = 2 =2 [cl/hr] 1 = 3 [cl/hr], 2 = 4 [cl/hr], 3 = 5 [cl/hr] El problema será del tipo M/M/1/FIFO// C S = 5 [$/hr] C E = 20 [$/hr]

99 Problema 3 Cierta computadora tarda exactamente 1.5 horas en atender un servicio requerido. Si los trabajos llegan según una Poisson a razón de un trabajo cada 120 minutos, se desea saber: Qué tanto debe esperar en promedio un trabajo para recibir atención? Será necesario la compra de otra computadora? Si la distribución del tiempo de servicio fuera Erlang con una media de 1.5 y con un parámetro k = 5, Cuánto debería esperar un trabajo para ser atendido? Cuál sería la probabilidad de ser atendido? Datos: Numero de servidores = 1 =1/120 [tr/min] = 0.5 [tr/hr] = 1/1.5 [tr/hr] = [tr/hr] El problema será del tipo M/M/1/FIFO//

100 Solución Procedimiento Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de Colas (QA). Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del que se conocen todos los datos. Este se llamará Computadora, eligiendo como unidad de tiempo a horas:

101 Solución En la hoja de cálculo se introducirán los datos conocidos como se muestra:

102 Solución Al presionar el icono resultados: se verá la ventana de los

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