Autor: Rosalba Patiño Herrera Agosto del 2002


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1 Permutación Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Si se seleccionan r objetos de un conjunto de n objetos distintos, cualquier arreglo (orden) de estos objetos se conoce como permutación. n Una permutación se denota como P r o tomados r a la vez. P n r. Se lee como una permutación de n elementos Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta? Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces. npn= n!/ (n n)! = n! / 0! = n! / 1 = n! Como 0! =1 de acuerdo a demostración matemática, entonces n P n = n! Es importante recoradr que factorial: Es el producto de todos los enteros positivos de uno hasta n. Por definición 0! = 1 1! = 1 2! = 2x1 = 2 3! = 3x2x1 = 6 4! = 4x3x2x1 = 24 5! = 5x4x3x2x1 = 120 n! = (n) (n-1) (n-2) (n-3)... (2)(1)

2 Ejemplo Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa? Por principio multiplicativo: (25)(24)(23)(22)(21)=6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc. Por Fórmula: n = 25, r = 5 25P 5 = 25!/ (25 5)! = 25! / 20! = 6,375,600 maneras de formar la representación Ejemplo a) Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b) Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno? a) Por principio multiplicativo: (8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera Por Fórmula: n = 8, r = 8 8P 8 = 8! = 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida...etc., etc. b) Por principio multiplicativo: (8)(7)(6) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera Por fórmula: n =8, r = 3 8P 3 = 8! / (8 3)! = 8! / 5! = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera Ejemplo Autor: Rosalba Cuántos Patiño Herrera puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible Agosto del 2002 generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si: a) No es posible repetir dígitos.

3 a) Por fórmula n = 6, r = 3 6P 3 = 6! / (6 3)! = 6! / 3! = 120 puntos posibles Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo b) Por el principio multiplicativo (6)(6)(6) = 216 puntos posibles Cuál es la razón por la cuál no se utiliza en este caso la fórmula?. No es utilizada debido a que la fórmula de permutaciones sólo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc. a) Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes? b) Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza? c) Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna? a) Por fórmula: n = 12, r = 5 12P 5 = 12! / (12 5 )! = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego b) Por principio multiplicativo: (1)(11)(10)(9)(8) =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego Por fórmula: (1)( 11 P 4 )= (1)(11!)/ (11 4)! = 11! / 7! = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José en una determinada posición

4 c) Por principio multiplicativo (1)(1)(10)(9)(8) = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego Por fórmula: (1)(1)( 10 P 3 )= 10! / 7! = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a) Considere que se pueden repetir letras y números. b) Considere que no se pueden repetir letras y números. c) Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?. d) Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar? a) Por principio multiplicativo: (26)(26)(10)(10)(10)(10)(10) = 67,600,000 claves de acceso b) Por fórmula: ( 26 P 2 )( 10 P 5 )=19,656,000 claves de acceso c) Por fórmula: (1)( 25 P 1 )( 9 P 4 )(1) = 75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6 d). Por fórmula: (1)(1)( 9 P 4 )(5) = 15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar. Permutaciones con repetición (regla general) En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para hacer los arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá una fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales es decir los arreglos reales. n! P = n x 1, x 2... x k x! x!... x! 1 2 Autor: Rosalba Patiño Herrera k Agosto del 2002

5 n es el total de objetos x i es cada grupo de objetos iguales En una permutación estamos interesados en el orden de la distribución de los objetos. Así abc es una permutación diferente de bca. Sin embargo, en muchos problemas estamos interesados solamente en seleccionar o escoger objetos sin interesarnos su orden, dicha selección se llama combinación. Por ejemplo abc y bca son la misma combinación. Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO. Para obtener la fórmula, es necesario primero suponer que todas las letras de la palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas pondremos subíndices a las letras O, por lo que quedaría, O 1 SO 2, y las permutaciones a obtener serían: 3P 3 = 3! = 6 definiendo las permutaciones tenemos que estas serían, O 1 SO 2, O 2 SO 1, SO 1 O 2, SO 2 O 1, O 1 O 2 S, O 2 O 1 S Pero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego entonces cuántos arreglos reales se tienen? Como: Arreglos reales O 1 SO 2 = O 2 SO 1 OSO SO 1 O 2 = SO 2 O 1 SOO O 1 O 2 S= O 2 O 1 S OOS Entonces se observa que en realidad sólo es posible obtener tres permutaciones con las letras de la palabra OSO debido a que las letras O son idénticas, pero qué es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando las consideramos diferentes, cuando en realidad son iguales. El número de arreglos reales = 3! / 2! = 3 x 2! / 2! = 3 Obtén todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.

6 n = 6 banderines x 1 = 2 banderines rojos x 2 = 3 banderines verdes x 3 = 1 banderín morado 6P 2, 3, 1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes a) Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3? b) cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos? c) cuántas de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres? a) n = 8 números x 1 = 3 números uno x 2 = 1 número dos x 3 = 4 números cuatro 8P 3, 1, 4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso b) n = 6 (se excluye un número uno y un dos) x 1 = 2 números uno x 2 = 4 números tres 1 x 1 x 6 P 2, 4 = (1)(1)(6!) / 2!4! = 15 claves de acceso El primer número uno nos indica el número de maneras como es posible colocar en la primera posición de la clave de acceso un número uno, debido a que todos los números uno son iguales, entonces tenemos una sola manera de seleccionar un número uno para la primera posición, el siguiente número uno nos indica el número de maneras como se colocaría en la segunda posición el número dos y la expresión siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible diseñar con los números restantes. c) n = 6 (se excluye un número dos y un tres) x 1 = 3 números uno x 2 = 3 números tres 1 x 6 P 3, 3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de acceso El número uno inicial nos indica que existe una sola manera de seleccionar el número dos que va en la primera posición del arreglo, mientras que el número uno final nos indica que hay una sola manera de seleccionar el número tres que va al final del arreglo aún y cuando haya cuatro números tres, como estos son iguales al diseñar una permutación es indistinto cuál

7 número tres se ponga, ya que siempre se tendrá el mismo arreglo y la expresión intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con los números restantes. De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? n = 9 árboles x 1 = 2 nogales x 2 = 4 manzanos x 3 = 3 ciruelos 9P 2, 4, 3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los árboles Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos? n = 12 juegos x 1 = 7 victorias x 2 = 3 empates x 3 = 2 juegos perdidos 12P 7, 3, 2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos perdidos. Pruebas ordenadas Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a efecto de dos maneras: 1) Con sustitución (con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n que hay, se observa de qué tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta que se han extraído los r objetos de la prueba, por tanto el número de pruebas ordenadas de con sustitución se obtiene:

8 Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer objeto, también se tendrán n objetos y así sucesivamente. 2) Sin sustitución (sin reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el número total de pruebas ordenadas sin sustitución se obtiene: Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, hay n 1 maneras, dado que el primer objeto no se regresa a la urna, luego cuando se extrae el r-ésimo objeto, hay (n r +1) de que sea seleccionado. Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es una departamento, el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de cómputo, si los participantes en este sorteo son 120 personas. a) sí la asignación se puede hacer con sustitución b) sí la asignación se puede hacer sin sustitución. : a) Por principio multiplicativo: 120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los premios Por fórmula: n =120, r = 120 n r = = 1,728,000 maneras de asignar los tres premios Hay que considerar que en este caso, al regresar cada boleto que es extraído de la urna, las personas que participan en el sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno solo de los premios, de ganar un premio, dos de los premios o los tres premios. Cosa que generalmente no ocurre. b) Por principio multiplicativo: (120)(119)(118) = 1,685,040 maneras de asignar los premios Por fórmula: n = 120, r = 3

9 120P 3 = 120! / (120 3)! = 120! / 117! = 1,685,040 maneras de asignar los premios Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron extraídos, los participantes solo pueden recibir un premio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que generalmente se efectúa un sorteo. Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de fórmula K, si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignación es totalmente al azar. Esta asignación debe ser sin sustitución, esto es, se trata de una prueba ordenada sin sustitución, por lo que la solución es la que se muestra. n = 26, r = 5 26P 5 = 26! / (26 5)! = 26! / 21! = 7,893,600 maneras de asignar las cinco primeras posiciones de salida. Cuántas formas hay de asignar el orden de participación de las primeras 5 concursantes de 11 finalistas de un concurso de Miss Mundo? Esta asignación debe realizarse sin sustitución, por lo que se trata de una prueba ordenada sin sustitución. n = 11, r = 5 11P 5 = 11! / (11 5)! = 11! / 6! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 55,440 maneras de asignar la participación. Combinación Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Es decir no nos importa los ordenes

10 diferentes, son la misma combinación. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. Es el número de maneras en que se pueden seleccionar r objetos de un conjunto de n (objetos distintos, sin que se repitan los arreglos. n Una combinación se denota como C o C r n r. Se lee como una combinación de n elementos tomados r a la vez. Y si deseamos r = n entonces; n C n = n! / (n n)!n! = n! / 0!n! = 1 Qué nos indica lo anterior? Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo. Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación. Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario. b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero). a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas anteriormente). Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas? Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos interesa es el contenido de los mismos.

11 b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación: CAMBIOS PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael Daniel SECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael TESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo Ahora tenemos cuatro arreglos, se trata de la misma representación? Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones. Se tienen 4 personas: Juan, José, Lupe y Rosa. Cuántos equipos de 2 personas se pueden obtener. Número de equipo. Personas en el equipo. 1 Juan-José 2 Juan-Lupe 3 Juan-Rosa 4 José-Juan 5 José-lupe 6 José-Rosa 7 Lupe-Juan 8 Lupe-José 9 Lupe-Rosa 10 Rosa-Juan 11 Rosa-José 12 Rosa-Lupe CASO 1: Se puede obtener 12 equipos si el orden de los nombres de los integrantes de los equipos si importa. Se tiene una permutación de 4 personas (n=4) tomadas 2 a la vez (r=2).

12 4! = (4 2)! 4 P 2 = CASO 2: Se puede obtener 6 equipos si el orden de los nombres de los integrantes de los equipos no importa. Se tiene una combinación de 4 personas tomadas 2 a la vez. 4! 4 C 2 = (4 2)!2! 12 a) Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza de la ciudad, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos. b) Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c) cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos? a) n = 14, r = 5 14C 5 = 14! / (14 5 )!5! = 14! / 9!5!= 2002 grupos Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres. b) n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5 En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres 8C 3 * 6 C 2 = (8! / (8 3)!3!)*(6! / (6 2)!2!) = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas c) En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres = 6C 4 * 8 C C 5 * 8 C 0 = 126 Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas,: a) Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas? b) Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas? c) Cuántas maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas? d) Cuántas maneras tiene si debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas?

13 a) n = 12, r = 9 12C 9 = 12! / (12 9)!9! = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen b) 2 C 2 * 10 C 7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que están las dos primeras preguntas c) 3 C 1 * 9 C 8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está una de las tres primeras preguntas d) En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas 3C 0 * 9 C C 1 * 9 C 8 = (1 x 1) + (3 x 9) = = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar. Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene: a) Cuántas maneras tiene de invitarlos? b) cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el otro. e) Cuántas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos? a) n = 11, r = 5 11C 5 = 11! / (11 5 )!5! = 11! / 6!5! = 462 maneras de invitarlos Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar. b) Esta señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja. 2C 0 * 9 C C 2 * 9 C 3 = (1 x 126) + (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos En este caso separamos a la pareja de los demás invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena. c) La señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos. 2C 0 * 9 C C 1 * 9 C 4 = (1 x 126) + (2 x 126) = = 378 maneras de hacer la invitación. Autor: Rosalba En un Patiño plano Herrera hay 10 puntos denominados A, B, C,...,etc. etc., Agosto en del 2002 una misma línea no hay más de dos puntos: a) Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?

14 a.) En la redacción del problema se aclara que en una misma línea no hay más de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestación a las preguntas que se hacen. Una línea puede ser trazada a partir de cómo mínimo dos puntos por lo tanto, 10C 2 = 10! / (10 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 líneas que se pueden trazar b) En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrán las líneas. 2C 0 * 8 C 2 = 1 x 28 = 28 líneas que no pasan por los puntos A o B c) Un triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego; 10C 3 = 10! / (10 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 triángulos posibles de trazar d) En este caso se separa el punto A de los demás, se selecciona y posteriormente también se seleccionan dos puntos más. 1C 1 * 9 C 2 = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen el punto A e) Los puntos A y B forman parte de los triángulos a trazar por lo que; 2 C 2 * 8 C 1 = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen el lado AB Particiones ordenadas Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x 1 objetos, x 2 objetos,...y x k objetos. Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?

15 Ejemplos de esta partición serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10; Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es; 10C 2 = 10! / (10 2)!2! = 45 maneras de seleccionar los libros. Luego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno; 8C 3 = 8! / (8 3)!3! = 56 maneras. Y por último se procederá a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo que se muestra a continuación; 5C 5 = 5! / (5 5)!5! = 1 manera Por tanto el número total de particiones ordenadas en células de 2, 3 y 5 elementos se determina: 10C 2 * 8 C 3 * 5 C 5 = (10! / (10 2)!2!)*(8! / (8 3)!3!)*(5! / (5 5)!5!) = 10! /2!3!5! La expresión anterior nos recuerda a la fórmula utilizada para encontrar las permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales, por lo que usaremos la misma fórmula para encontrar las particiones ordenadas. Esta fórmula sólo puede ser utilizada cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarán combinaciones. Cuántas maneras hay de repartir 9 juguetes entre tres niños, si se desea que al primer niño le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al tercero 3 juguetes? Por combinaciones, 9C 4 * 5 C 2 * 3 C 3 = 126*10*1= 1260 maneras de repartir los juguetes

16 Por fórmula, n = 9 x 1 = 4 x 2 = 2 x 3 =3 9P 4, 2, 3 = 9! / 4!2!3! = 1,260 maneras de repartir los juguetes Cuántas maneras hay de repartir los mismos 9 juguetes entre tres niños, si se desea darle 3 al primer niño, 2 al segundo niño y 2 al tercer niño? En este caso únicamente se puede dar solución por combinaciones, ya que no es posible usar la fórmula debido a que se reparten solo parte de los juguetes. 9C 3 * 6 C 2 * 4 C 2 = 84*15*6 = 7,560 maneras de repartir los juguetes (solo se reparten 7 y quedan dos juguetes) a) Cuántas maneras hay de que se repartan 14 libros diferentes entre 3 alumnos, si se pretende que al primer alumno y al segundo les toquen 5 libros a cada uno y al tercero le toque el resto? b) Cuántas maneras hay de que se repartan los libros si se desea dar 5 libros al primer alumno, 3 al segundo y 2 libros al tercer alumno? a) Por fórmula: n = 14 x 1 = 5 x 2 = 5 x 3 = 4

17 14P 5, 5, 4 = 14! / 5!5!4! = 21,021 maneras de repartir los libros en grupos de 5, 5 y 4 libros b) Por combinaciones: 14C 5 * 9 C 3 * 6 C 2 = 2,002*84*15 = 2,522,520 maneras de repartir 10 de los 14 libros en grupos de 5, 3 y 2 libros a) Cuántas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas cada uno de ellos para que realicen prácticas de laboratorio diferentes? b) Cuantas maneras hay de que se repartan los 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas si se va a realizar una misma práctica? a) En este caso al ser prácticas de laboratorio diferentes, es posible resolver el problema por combinaciones o por la fórmula, dado que se reparten todos los alumnos Por fórmula: n = 12 x 1 = 3 práctica 1 x 2 = 3 práctica 2 x 3 = 3 práctica 3 x 4 = 3 práctica 4 12P 3, 3, 3, 3 = 12! / 3!3!3!3! = 369,600 maneras de repartir a los estudiantes en cuatro equipos de 3 personas para realizar prácticas diferentes b) En este caso lo más probable es que se crea que la solución es igual que la que se ha dado al inciso a, pero esto no puede ser debido a que si se desea repartir a los alumnos para realizar una misma práctica, el orden en el que se hace la repartición no tiene importancia, ya que al equipo de tres personas les da lo mismo quedar en el primer equipo a quedar en el segundo o tercero, ya que la práctica a realizar es la misma, entonces la solución es; 12P 3, 3, 3, 3 * 1 /4! = 12! / 3!3!3!3! * 1 / 4! = 369,600 / 4! = 15,400 maneras de repartir a los alumnos en equipos de 3 personas para realizar una misma práctica Al multiplicar la solución que se da al inciso a, por 1/4! se está quitando el orden de los grupos, que en este caso no nos interesa.

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